NÚMEROS+REALES



Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 6 7  que viene a ser un entero, o también el 3/4 , que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 3  y su denominador es 4 . Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número π  o √2  y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único.

Los números reales <span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px;"> se representa con la letra <span class="MJX_Assistive_MathML" style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: inherit; font-size: inherit; vertical-align: baseline;">R <span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px;">, y aparecen por la necesidad de realizar cálculos más complejos ya que en épocas como entre el siglo XVI y el XVII, se hacían necesarias nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían ser representados por cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su inexactitud. El rigor del avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo necesaria la creación de nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud a los cálculos.

<span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">El sistema de números reales se compone principalmente de dos grandes conjuntos, el de los números racionales que son aquellos que pueden ser expresados como la división de dos números enteros como 3/8, 1/<span style="font-family: MJXc-TeX-main-R,MJXc-TeX-main-Rw; font-size: inherit;">5 <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px;">, incluso un número entero puede ser expresado como una fracción, ya que el número entero puede ser dividido para <span class="MJX_Assistive_MathML" style="font-family: inherit; font-size: inherit; vertical-align: baseline;">1 sin cambiar su esencia, por ejemplo el número <span class="mjx-char MJXc-TeX-main-R" style="font-family: MJXc-TeX-main-R,MJXc-TeX-main-Rw; font-size: inherit; vertical-align: baseline;">8 puede ser expresado en fracción así 8/<span style="font-family: MJXc-TeX-main-R,MJXc-TeX-main-Rw; font-size: inherit;">1 <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px;">; mientras que el otro gran conjunto del sistema de números reales es el de los números irracionales cuya representación decimal es expansiva, infinita y Y NO periódica.

<span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">Los números irracionales son un conjunto en sí mismos pero, a su vez, los números racionales tienen subconjuntos que son: las fracciones no enteras con sus respectivas notaciones negativas; los números enteros; dentro de los números enteros están los negativos y los enteros positivos; estos últimos a su vez incluyen a los números naturales y al cero. Para aclarar esta conjunción, se puede graficar como en el diagrama de arriba.

<span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">De otra forma, se muestra a continuación un mapa conceptual de números reales:

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Evalúa tus conocimientos: represente cada fracción en la recta numérica

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LOS NÚMEROS RACIONALES

<span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px;">Resuelva el siguiente taller

== LOS NÚMEROS IRRACIONALES =<span style="background-color: #ffffff; color: #246694; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 2.625em; vertical-align: baseline;">Números Irrac ionales= <span style="background-color: #ffffff; color: #246694; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 2.625em; vertical-align: baseline;">media type="custom" key="29562313" <span style="background-color: #ffffff; color: #555555; display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;"> El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.

Definición de números irracionales
¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. <span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número √ 2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones. <span style="background-color: #ffffff; color: #555555; display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;"><span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible. Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

<span style="background-color: #ffffff; color: #555555; display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">

Clasificación de los números irracionales
Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son: // Número algebraico //.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc. // Número trascendente //.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos. Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical.

Números irracionales famosos
Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son: Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589… e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459… El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749…

Ejemplos de números irracionales
En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son: <span style="font-family: MJXc-TeX-main-R,MJXc-TeX-main-Rw; font-size: inherit;">1 + √ 3 / 2 <span style="display: block; font-family: inherit; font-size: inherit; text-align: center; vertical-align: baseline;"> CAPTURA IMAGEN Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así: 0,1961325454898161376813268743781937693498749…

0,01001000100001000001000000100000001000000001…

<span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">Primero se descompone 7 en suma de cuadrados:7 <span style="background-color: #ffffff; color: #555555; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 14px; vertical-align: baseline;">SEGUIR REALES